Question

【題目】如圖，在長方形ABCD中，AB＝4，AD＝2，點E是DC的中點，將△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，連結DB、DC、EB．

（1）求證：平面ADE⊥平面BDE；

（2）求AD與平面BDC所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）利用勾股定理的逆定理可得：AE⊥EB，再利用面面垂直的判定定理即可得出：BE⊥平面ADE，進而證明結論．

（2）建立空間直角坐標系．設平面BDC的法向量為，可得求出，可得AD與平面BDC所成角的正弦值.

（1）證明：AE2+BE216＝AB2，∴AE⊥EB，

又平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE∩平面ABCE＝AE，

∴BE⊥平面ADE，又平面，

∴平面ADE⊥平面BDE；

（2）解：如圖所示，建立空間直角坐標系．E（0,0,0），A（2,0,0），B（0,2,0），D（,0,），C（,,0）．

(,,0)．(,2,)，(,0,)，

設平面BDC的法向量為

則，，x+2z＝0，

取．

∴AD與平面BDC所成角的正弦值．