已知橢圓
的方程為
，雙曲線
的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點。
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線
與橢圓及雙曲線都恒有兩個不同的交點，且L與的兩個焦點A和B滿足
（其中O為原點），求
的取值范圍。
（1）
；（2）
解析試題分析：（1）有橢圓方程中讀出其長軸長，焦距長，根據題意得出雙曲線的長軸長，和焦距長，即可求出雙曲線方程。（2）因為直線l與兩曲線均有兩個不同交點，故聯立方程后整理出的一元二次方程均有兩根，即判別式均大于0，再根據向量數量積公式列出關于K 的不等式，三個不等式取交集。
試題解析：（1）設雙曲線的方程為
，由橢圓的方程知，其長軸長為4，焦距長為
，則由題意知雙曲線中
，
，所以
，故的方程為。
（2）將代入，整理得
，由直線
與橢圓恒有兩個不同的交點得
即
，
將代入，整理得
，由直線與雙曲線恒有兩個不同的交點得
，解得
。
解此不等式得
③
由①、②、③得
故k的取值范圍為
考點：圓錐曲線方程基礎知識，直線與圓錐曲線的位置關系，向量數量積公式
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，已知過點
的橢圓
：
的右焦點為
，過焦點
且與
軸不重合的直線與橢圓交于
，
兩點，點關于坐標原點的對稱點為
，直線
，
分別交橢圓的右準線
于
，
兩點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點的坐標為
，試求直線的方程；
（3）記，兩點的縱坐標分別為
，
，試問
是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
（13分）點P為圓
上一個動點，M為點P在y軸上的投影，動點Q滿足
．
（1）求動點Q的軌跡C的方程；
（2）一條直線l過點
，交曲線C于A、B兩點，且A、B同在以點D（0，1）為圓心的圓上，求直線l的方程。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某校同學設計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區域）”，其中
、
是過拋物線
焦點
的兩條弦，且其焦點
，
，點
為
軸上一點，記
，其中
為銳角．
(1)求拋物線方程；
(2)求證：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖,已知拋物線
的焦點為F，過F的直線交拋物線于M、N兩點，其準線
與x軸交于K點.
（1）求證：KF平分∠MKN；
（2）O為坐標原點，直線MO、NO分別交準線于點P、Q，求
的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點為
，點
是點
關于
軸的對稱點，過點的直線交拋物線于
兩點。
（Ⅰ）試問在
軸上是否存在不同于點的一點
，使得
與軸所在的直線所成的銳角相等，若存在，求出定點的坐標，若不存在說明理由。
（Ⅱ）若
的面積為
，求向量
的夾角；
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知曲線
上任意一點
到直線
的距離是它到點
距離的
倍；曲線
是以原點為頂點，
為焦點的拋物線.
(Ⅰ)求,的方程；
(Ⅱ)過作兩條互相垂直的直線
,其中
與相交于點
,
與相交于點
,求四邊形
面積的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓
：
的離心率為
，以橢圓的左頂點
為圓心作圓：
，設圓與橢圓交于點
與點
．(12分)
（1）求橢圓的方程；（3分）
（2）求
的最小值，并求此時圓的方程；（4分）
（3）設點
是橢圓上異于,的任意一點，且直線
分別與
軸交于點
，
為坐標原點，求證：
為定值．（5分）
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