Question

離心率為的雙曲線C₁：-=1上的動點P到兩焦點的距離之和的最小值為2，拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點與雙曲線C₁的上頂點重合．
（Ⅰ）求拋物線C₂的方程；
（Ⅱ）過直線l：y=a（a為負常數）上任意一點M向拋物線C₂引兩條切線，切點分別為AB，坐標原點O恒在以AB為直徑的圓內，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得雙曲線焦距為2，離心率為，則長軸長為2，故雙曲線的上頂點為（0，1），所以拋物線C₂的方程為x²=4y；
（Ⅱ）設M（m，a），A（），B（），故直線MA的方程為，即，
所以，同理可得：，
即x₁，x₂是方程4a=2xm-x²的兩個不同的根，所以x₁x₂=4a
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（x₁x₂）²=4a+a²
∵坐標原點O恒在以AB為直徑的圓內，
∴4a+a²＜0，即-4＜a＜0．
分析：（Ⅰ）由已知可得雙曲線焦距，由離心率，可求長軸長，從而可得雙曲線的上頂點為（0，1），故可求拋物線C₂的方程；
（Ⅱ）設M（m，a），A（），B（），求出切線方程，可得x₁，x₂是方程4a=2xm-x²的兩個不同的根，利用韋達定理及坐標原點O恒在以AB為直徑的圓內，可得不等式，從而可求實數a的取值范圍．
點評：本題考查拋物線的標準方程，考查雙曲線的幾何性質，考查拋物線的切線，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．