Question

如圖,在底面為平行四邊形的四棱柱中,底面,,,．
（1）求證:平面平面；
（2）若,求四棱錐的體積．

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

解析試題分析：（1）由得：平面，進而證得面面垂直；（2）法1：做出底面的垂線，證明線面垂直，再利用體積公式；法2：分割法轉化成兩個三棱錐的體積之和，再利用轉換頂點的求三棱錐的體積，再相加求四棱錐的體積（省去找底面的垂線）
試題解析：（1）證明： 在中,由余弦定理得：，
所以,所以,即，              3分
又四邊形為平行四邊形,所以，
又底面,底面,所以，              4分
又,所以平面,               5分
又平面,所以平面平面．              6分
（2）法一：連結，∵，∴
∵平面，所以，           8分
所以四邊形的面積，    10分
取的中點，連結，則，且，
又平面平面,平面平面，
所以平面，              13分
所以四棱錐的體積：
．               14分

法二: 四棱錐的體積，     8分
而三棱錐與三棱錐底面積和高均相等，     10分
所以．         14分
考點：1.面面垂直；2.線面垂直；3等體積法求錐體的體積