Question

已知函數f（x）=x²-x+alnx在x=處取得極值．
（1）求曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線方程．
（2）求函數的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出f′（x），因為函數在x=處取得極值得到f′（）=0，解出a的值即可得到f′（x）的解析式，然后求出f′（1）即得到切線的斜率，寫出切線方程即可；
（2）求出函數的定義域，令f′（x）大于0求出x的范圍即為函數的增區間；令f′（x）小于0求出x的范圍即為函數的減區間．
解答：解：（1），
∵處取得極值，∴，
∴，∴a=-3，經檢驗符合題意，
∴f′（x）=，
∴切線的斜率k=f′（1）=-2
則曲線y=f（x）在點（1，0）處的切線方程為y=-2（x-1），即2x+y-2=0；
（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
當，可得時，函數遞增；
當f′（x）=＜0，可得0＜x＜時，函數遞減，
則f（x）的單調遞增區間為，單調遞減區間為．
點評：考查學生會利用導數研究函數的極值和單調性，掌握求函數的增減區間轉化為導函數大于或小于0時x的范圍．