Question

已知P為曲線C上任一點，若P到點F（，0）的距離與P到直線距離相等
（1）求曲線C的方程；
（2）若過點（1，0）的直線l與曲線C交于不同兩點A、B，
（I）若，求直線l的方程；
（II）試問在x軸上是否存在定點E（a，0），使恒為定值？若存在，求出E的坐標及定值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵P到點F（，0）的距離與P到直線距離相等
∴P的軌跡是以F（，0）為焦點的拋物線，方程為y²=2x；
（2）（I）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程為x=my+1代入拋物線方程可得y²-2my-2=0
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2
∴|AB|===2
∴m⁴+3m²-4=0
∴m²=1，∴m=±1；
（II）假設存在定點E（a，0），∵=（x₁-a）（x₂-a）+y₁y₂=-2am²+（1-a）²-2恒為定值
∴a=0，定值為-1，此時E的坐標為（0，0）．
分析：（1）利用拋物線的定義，即可求得曲線C的方程；
（2）（I）設出直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式，假設弦長，即可求得結論；
（II）假設存在定點E（a，0），求出數(shù)量積，利用數(shù)量積恒為定值，可得結論．
點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查弦長的計算，考查數(shù)量積公式，屬于中檔題．