Question

如圖，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F₁，F₂，其上頂點為A．已知△F₁AF₂是邊長為2的正三角形．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點Q（-4，0）任作一動直線l交橢圓C于M，N兩點，記=-λ•若在線段MN上取一點R，使得=λ•，試判斷當直線l運動時，點R是否在某一定直線上運動？若在，請求出該定直線的方程；若不在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵已知△F₁AF₂是邊長為2的正三角形，∴c=1，a=2，…（2分）
∴=
∴橢圓C的方程為．…（4分）
（Ⅱ）直線MN的斜率必存在，設其直線方程為y=k（x+4），并設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直線方程與橢圓方程聯立，消去y得（3+4k²）x²+32k²x+64k²-12=0，則
△=144（1-4k²）＞0，x₁+x₂=，x₁x₂= …（7分）
由=λ•，得-4-x₁=λ（x₂+4），故λ=-．…（9分）
設點R的坐標為（x₀，y₀），則由=-λ•得x₀-x₁=-λ（x₂-x₀），解得
==
==-1．…（13分）
故點R在定直線x=-1上．…（14分）
分析：（Ⅰ）由△F₁AF₂是邊長為2的正三角形，可得c=1，a=2，從而可求b，即可得到橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理，由=-λ•，確定λ的值，由=λ•，可得R的橫坐標為定值，即可得到結論．
點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．