Question

求過點P（3，0）且與圓x²+6x+y²-91=0相內切的動圓圓心的軌跡方程．

Answer 1

分析：根據兩圓內切的性質，算出動圓圓心到P（3，0）、Q（-3，0）的距離之和等于常數10，由此可得軌跡為以P、Q為焦點的橢圓，利用橢圓的基本概念加以計算即可得到所求軌跡方程．

解答：解：將圓x²+6x+y²-91=0化成標準方程，
得（x+3）²+y²=100，圓心為Q（-3，0），半徑為r=10
設動圓的圓心為C，與定圓切于點A
∵圓C過點P（3，0），圓C與圓Q相內切
∴|CQ|=|QA|-|CA|，
得|CQ|+|CA|=|CQ|+|CA|=|QA|=10（定值）
因此，動點C的軌跡為以P、Q為焦點的橢圓
2a=10，c=3，可得b=

a2-c2

=4
∴橢圓的方程為

x2

25

+

y2

16

=1，即為動圓圓心的軌跡方程．

點評：本題給出動圓滿足的條件，求圓心的軌跡方程．著重考查了圓與圓的位置關系、橢圓的定義與標準方程和動點軌跡方程的求法等知識，屬于中檔題．