Question

已知橢圓C的中心在原點,焦點在x軸上,點F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點,在橢圓C的右準線上的點P(2,),滿足線段PF₁的中垂線過點F₂,直線l:y=kx+m為動直線,且直線l與橢圓C交于不同的兩點A、B.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若在橢圓C上存在點Q,滿足+=λ(O為坐標原點),求實數λ的取值范圍;

(3)在(2)的條件下,當λ取何值時,△ABO的面積最大,并求出這個最大值.

Answer 1

解:(1)設橢圓C的方程為=1(a＞b＞0),半焦距為c,依題意有

解得∴b=1.

∴所求橢圓方程為+y²=1.

(2)由得(1+2k²)x²+4kmx+2m²-2=0.

設點A、B的坐標分別為A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

則 y₁+y₂=k(x₁+x₂)+2m=.

(ⅰ)當m=0時,點A、B關于原點對稱,則λ=0.

(ⅱ)當m≠0時,點A、B不關于原點對稱,則λ≠0,

由+=λ,得即.

∵點Q在橢圓上,∴有［］²+2［］²=2.

化簡,得4m²(1+2k²)=λ²(1+2k²)².∵1+2k²≠0,∴有4m²=λ²(1+2k²).① 

又∵Δ=16k²m²-4(1+2k²)(2m²-2)=8(1+2k²-m²),∴由Δ＞0,得1+2k²＞m².② 

由①②兩式,得4m²＞λ²m².∵m≠0,∴λ²＜4,則-2＜λ＜2且λ≠0.

綜合(ⅰ)、(ⅱ)兩種情況,得實數λ的取值范圍是-2＜λ＜2.

(3)∵|AB|=|x₁-x₂|,點O到直線AB的距離d=,

∴△AOB的面積S=|m||x₁-x₂|=|m|=.

由①有1+2k²=,代入上式并化簡,得S=.

∵≤2,∴S≤.

當且僅當λ²=4-λ²,即λ=±時,等號成立.

∴當λ=±2時,△ABO的面積最大,最大值為.