Question

已知函數f（x）=lg（x²+ax-a-1）（a∈R），給出下列命題：
①a=1時，f（x）的定義域為（-∞，-2）∪（1，+∞）；
②f（x）有最小值；
③當a=0時，f（x）的值域為R；
④若f（x）在區間[2，+∞）上是增函數，則實數a的取值范圍是[-4，+∞）．
其中正確結論的序號是

①③

．（填上所有正確命題的序號）

Answer 1

分析：由已知中函數f（x）=lg（x²+ax-a-1），我們易判斷出其真數部分的范圍，結合對數函數的性質可判斷①、②③的真假，再由復合函數單調性的判斷方法及函數的定義域，可判斷④的對錯．進而得到結論．

解答：解：①a=1時，f（x）=lg（x²+x-2），由x²+x-2＞0可得x＜-2或x＞1，∴f（x）的定義域為（-∞，-2）∪（1，+∞），即①正確；
②∵u=x²+ax-a-1的最小值為-

1

4

（a²+4a+4）≤0，∴函數f（x）的值域為R，函數f（x）無最小值，故②錯誤；
③當a=0時，f（x）=lg（x²-1），由于真數x²-1可以取全體正數，故函數的值域是R，即③正確；
④若f（x）在區間[2，+∞）上單調遞增，則-

a

2

≤2，且4+2a-a-1＞0解得a＞-3，故④錯誤；
綜上，正確結論的序號為①③
故答案為：①③

點評：本題考查的知識點是對數函數的單調性與特殊點、對數函數的定義和值域及復合函數的單調性，是一道函數的綜合應用題．