Question

數列{a_n}中，相鄰兩項a_n，a_n+1是方程x²+3nx+b_n=0的兩根，已知a₁₀=-17，則b₅₁的值等于（　　）

A．5800

B．5840

C．5860

D．6000

Answer 1

分析：由a_n，a_n+1是方程x²+3nx+b_n=0的兩根，知a_n+a_n+1=-3n，a_n•a_n+1=b_n．所以a_n+2-a_n=（a_n+2+a_n+1）-（a_n+1+a_n）=-3（n+1）-（-3n）=-3，故a₁，a₃，…，a_2n+1和a₂，a₄，…，a_n都是公差為-3的等差數列，所以a₅₂=-80，a₅₁=-73，由此能求出b₅₁．

解答：解：∵a_n，a_n+1是方程x²+3nx+b_n=0的兩根，
∴a_n+a_n+1=-3n，a_n•a_n+1=b_n．
∴a_n+2-a_n=（a_n+2+a_n+1）-（a_n+1+a_n）=-3（n+1）-（-3n）=-3
∴a₁，a₃，…，a_2n+1和a₂，a₄，…，a_n都是公差為-3的等差數列，
∴a₅₂=a₁₀+21（-3）=-80，
a₅₁=a₁₁+20（-3），
∵a₁₀+a₁₁=-30，
∴a₁₁=-13，
∴a₅₁=-73，
∴b₅₁=a₅₁•a₅₂=5840．
故選B．

點評：本題考查數列與函數的綜合應用，對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，仔細解答，注意韋達定理的靈活運用．