Question

對于元素為整數的有限集合A={z₁，z₂，z₃，…，z_n}，規定×為集合A的特征值．例如：B={-1，2，3}，則集合B的特征值M_B=（-1）^-1×（-1）+（-1）²×2+（-1）³×3=0．如果集合A={-1，0，1，2，3，4}，那么集合A所有非空子集的特征值的和等于________．

Answer 1

100
分析：解題時先列出集合A的所有的非空子集，然后分別計算各個非空子集的特征值，再進行求和．
解答：集合A非空子集有63個，分別為：A₁={-1}，A₂={0}，A₃={1}，A₄={2}，A₅={3}，A₆={4}，
A₇={-1，0}，A₈={-1，1}，A₉={-1，2}，A₁₀={-1，3}，A₁₁={-1，4}，A₁₂={0，1}，A₁₃={0，2}，
A₁₄={0，3}，A₁₅={0，4}，A₁₆={1，2}，A₁₇={1，3}，A₁₈={1，4}，A₁₉={2，3}，A₂₀={2，4}，
A₂₁={3，4}，A₂₂={-1，0，1}，A₂₃={-1，0，2}，A₂₄={-1，0，3}，A₂₅={-1，0，4}，A₂₆={0，1，2}，
A₂₇={0，1，3}，A₂₈={0，1，4}，A₂₉={1，2，3}，A₃₀={1，2，4}，A₃₁={2，3，4}，A₃₂={-1，1，2}，
A₃₃={-1，1，3}，A₃₄={-1，1，4}，A₃₅={-1，2，3}，A₃₆={-1，2，4}，A₃₇={0，2，3}，A₃₈={0，2，4}，
A₃₉={0，3，4}，A₄₀={1，2，4}，A₄₁={1，3，4}，A₄₂={-1，0，1，2}，A₄₃={-1，0，1，3}，A₄₄={-1，0，1，4}，
A₄₅={0，1，2，3}，A₄₆={0，1，2，4}，A₄₇={1，2，3，4}，A₄₈={-1，0，2，3}，A₄₉={-1，0，2，4}，
A₅₀={-1，0，3，4}，A₅₁={0，1，3，4}，A₅₂={-1，1，2，3}，A₅₃={-1，1，2，4}，A₅₄={-1，1，3，4}，
A₅₅={-1，2，3，4}，A₅₆={0，2，3，4}，A₅₇={-1，0，1，2，3}，A₅₈={-1，0，1，2，4}，A₅₉={-1，0，1，3，4}，
A₆₀={-1，1，2，3，4}，A₆₁={0，1，2，3，4}，A₆₂={-1，0，2，3，4}，A₆₃={-1，0，1，2，3，4}．
∴，，，，
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+（-1）³×3=-3，
+（-1）¹×1+（-1）⁴×4=4，
（-1）²×2+（-1）³×3=-2，
×1+（-1）²×2+（-1）⁴×4=5，
+（-1）⁴×4=2，
+（-1）²×2+（-1）³×3=0，
+（-1）²×2+（-1）⁴×4=7，
+（-1）³×3+（-1）⁴×4=2，
+（-1）³×3+（-1）⁴×4=0，
+（-1）²×2+（-1）³×3=-1，
+（-1）²×2+（-1）⁴×4=6，
+（-1）³×3+（-1）⁴×4=1，
+（-1）³×3+（-1）⁴×4=4，
+（-1）³×3+（-1）⁴×4=3，
+（-1）²×2+（-1）³×3=-1，
（-1）²×2+（-1）⁴×4=6，
（-1）³×3+（-1）⁴×4=1，
（-1）³×3+（-1）⁴×4=3，
（-1）³×3+（-1）⁴×4=2，
（-1）³×3+（-1）⁴×4=4，
（-1）²×2+（-1）³×3+（-1）⁴×4=3．
∴集合A所有非空子集的特征值的和=100．
故答案為：100．
點評：本題考查集合A所有非空子集的特征值的和，解題時要熟練掌握集合的特征值的概念，先列出集合A的所有的非空子集，然后分別計算各個非空子集的特征值，再進行求和．