Question

已知x軸上有一列點P₁，P₂ P₃，…，P_n，…，當n≥2時，點P_n是把線段P_n-1 P_n+1 作n等分的分點中最靠近P_n+1的點，設線段P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_nP_n+1的長度分別 為a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（1）求a_n關于n的解析式；
（2 ）證明：a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3
（3）設點P（n，a_n） {n≥3），在這些點中是否存在兩個點同時在函數y= 的圖象上？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于P_n是把P_n-1P_n+1線段作n等分的分點中最靠近P_n+1的點，所以知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n-1，從而可得=，進而利用疊乘即可求出a₂，a₃和a_n的表達式；
（2）對通項進行放縮，再求和，利用等比數列的求和公式即可證明；
（3）假設存在，即可得=，再設b_n=，考查數列{b_n}單調減即可．
解答：（1）解：由已知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n-1
令n=2，P₁P₂=P₂P₃，∴a₂=1，同理a₃=，=
∴a_n=a_n-1=••a_n-2=…=
（2）證明：∵n≥2時，=≤
∴a₁+a₂+a₃+…+a_n≤1+1++…=3-＜3
而n=1時，結論成立，故a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3；
（3）假設有兩個點A（p，a_p），B（q，a_q），都在函數y=上，
即a_p=，a_q=
所以=k，=k，消去k得= ①，
設b_n=，考查數列{b_n}的增減情況，
∵b_n-b_n-1=-=-，
∴當n＞2時，n²-3n+1＞0，所以對于數列{b_n}為遞減數列
∴不可能存在p，q使得①式成立，
∴不存在兩個點同時在函數y= 的圖象上．
點評：本題以線段為載體，考查數列的通項，考查放縮法的運用，考查函數的單調性，綜合性強，難度較大．