Question

已知函數f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．
（1）寫出一個奇函數g（x）和一個偶函數h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；
（2）對（1）中的g（x）．命題P：函數f（x）在區間[（a+1）²，+∞）上是增函數；命題Q：函數g（x）是減函數；如果命題P、Q有且僅有一個是真命題，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，求f（2）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 h（x）=x²+lg|a+2|；  g（x）=（a+1）x．
（2）由函數f（x）在區間[（a+1）²，+∞）上是增函數得 -

a+1

2

≤(a+1)2，求出a的范圍為集合A，由函數g（x）是減函數得a+1＜0，求出a的范圍為集合B，則（A∩

.

B

）∪（

.

A

∩B）即為所求．
（3）求出f （2），由函數在a∈(-

3

2

，+∞)上遞增，可得f （2）＞f （-

3

3

 ），從而得到所求．

解答：解：（1）由題意可得 h（x）=x²+lg|a+2|；  g（x）=（a+1）x．
（2）由二次函數f（x））=x²+（a+1）x+lg|a+2|的圖象是開口向上的拋物線，且的對稱軸為 x=-

a+1

2

，
在區間[（a+1）²，+∞）上是增函數，故有 -

a+1

2

≤(a+1)2，解得a≤-

3

2

或a≥-1，因為a≠-2．
由函數g（x）是減函數得a+1＜0，解得a＜-1，a≠-2．
當命題P真且命題Q假時，由

a≤- 3 2 ，或a≥-1 a≥-1 a≠-2

，解得a≥-1．
當命題P假且命題Q真時，由

- 3 2 ＜a＜-1 a＜-1 a≠-2

，即得-

3

2

＜a＜-1．
故當命題P、Q有且僅有一個是真命題，得a的取值范圍是[-1，+∞)∪(-

3

2

，-1)=(-

3

2

，+∞)．
（3）f（2）=4+2a+2+lg|a+2|=6+2a+lg（a+2），因為在a∈(-

3

2

，+∞)上遞增，
所以，f(2)＞6+2•(-

3

2

)+lg(-

3

2

+2)=3-lg2，即：f（2）∈（3-lg2，+∞）．

點評：本題考查函數的奇偶性和單調性，不等式的解法，求兩個集合的交集、并集和補集，準確運算是解題的難點．