Question

已知數列{a_n}滿足：，a_na_n+1＜0（n≥1），數列{b_n}滿足：b_n=a_n+1²-a_n²（n≥1）．
（I）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式
（Π）證明：數列{b_n}中的任意三項不可能成等差數列．

Answer 1

【答案】分析：（1）對化簡整理得，令c_n=1-a_n²，進而可推斷數列{c_n}是首項為，公比為的等比數列，根據等比數列通項公式求得c_n，則a²_n可得，進而根據a_na_n+1＜0求得a_n．
（2）假設數列{b_n}存在三項b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）按某種順序成等差數列，由于數列{b_n}為等比數列，于是有b_r＞b_s＞b_t，則只有可能有2b_s=b_r+b_t成立，代入通項公式，化簡整理后發現等式左邊為奇數，右邊為偶數，故上上式不可能成立，導致矛盾．
解答：解：（Ⅰ）由題意可知，
令c_n=1-a_n²，則
又，則數列{c_n}是首項為，公比為的等比數列，即，
故，
又，a_na_n+1＜0
故
（Ⅱ）假設數列{b_n}存在三項b_r，b_s，b_t（r＜s＜t）按某種順序成等差數列，
由于數列{b_n}是首項為，公比為的等比數列，于是有2b_s=b_r+b_t成立，則只有可能有2b_r=b_s+b_t成立，
∴
化簡整理后可知，由于r＜s＜t，所以上式左邊為奇數，右邊為偶數，故上式不可能成立，導致矛盾．故數列{b_n}中任意三項不可能成等差數列．
點評：本題主要考查了數列的遞推式．對于用遞推式確定數列的通項公式問題，常可把通過吧遞推式變形轉換成等差或等比數列．