Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）經過點（

1

2

，

3

），一個焦點是F（0，-

3

）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設橢圓C與y軸的兩個交點為A₁、A₂，點P在直線y=a²上，直線PA₁、PA₂分別與橢圓C交于M、N兩點．試問：當點P在直線y=a²上運動時，直線MN是否恒經過定點Q？證明你的結論．

Answer 1

（I）一個焦點是F（0，-

3

），故c=

3

，可設橢圓方程為

y2

3+b2

+

x2

b2

=1      …（2分）
∵點（

1

2

，

3

）在橢圓上，∴

3

3+b2

+

1

4b2

=1
∴b²=1，b2=

3

4

（舍去）
∴橢圓方程為

y2

4

+x2=1                      …（4分）
（II）直線MN恒經過定點Q（0，1），證明如下：
當MN斜率不存在時，直線MN即y軸，通過點Q（0，1），…（6分）
當點P不在y軸上時，設P（t，4），A₁（0，2）、A₂（0，-2），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
直線PA₁方程y=

2

t

x+2，PA₂方程y=

6

t

x-2，
y=

2

t

x+2代入

y2

4

+x2=1得（1+t²）x²+2tx=0，
得x₁=-

2t

1+t2

，y₁=

2t2-2

1+t2

，∴kQM=

y1-1

x1

=

3-t2

2t

，…（8分）
y=

6

t

x-2代入

y2

4

+x2=1得（9+t²）x²-6tx=0
得x₂=

6t

9+t2

，y₂=

18-6t2

9+t2

，∴kQN=

y2-1

x2

=

3-t2

2t

，…（10分）
∴k_QM=k_QN，∴直線MN恒經過定點Q（0，1）．        …（12分）