Question

已知極坐標系的極點O與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，曲線C1 ： ρcos(θ+

π

4

)=2

2

與曲線C₂：

x=4t2 y=4t

，（t∈R）交于A，B兩點，則＜

OA

 ， 

OB

＞=

π

2

．

Answer 1

分析：把兩個曲線的極坐標方程、參數方程化為直角坐標方程，聯立方程組，利用一元二次方程根與系數大關系求出x₁+x₂=12，x₁•x₂=16，再利用兩個向量的夾角公式求出結果．

解答：解：曲線C1 ： ρcos(θ+

π

4

)=2

2

即 ρ(cosθcos

π

4

-sinθsin

π

4

)=2

2

，
所以x-y=4，即y=x-4．
曲線C₂：

t2= x 4 t= y 4

，即(

y

4

)2=

x

4

，即y²=4x．
聯立

y=x-4 y2=4x

，可得（x-4）²=4x，化簡得x²-12x+16=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有 x₁+x₂=12，x₁•x₂=16．
又 cos＜

OA

 ，

OB

＞=

OA • OB

| OA  |•| OB |

=

(x1 ，y1)•(x2 ， y2)

x 2 1 + y 2 1 • x 2 2 + y 2 2

=

x1x2+y1y2

x 2 1 + y 2 1 • x 2 2 + y 2 2

，
故 y₁y₂=（x₁-4）（x₂-4）=x₁x₂-4（x₁+x₂）+16=16-4×12+16=-16，故 x₁x₂+y₁y₂=16+（-16）=0，
故 cos＜

OA

 ，

OB

＞=0，
∴＜

OA

 ，

OB

 ＞=

π

2

，
故答案為

π

2

．

點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，把參數方程化為普通方程的方法，兩個向量坐標形式的運算，兩個向量夾角公式的應用，屬于中檔題．