Question

（2013•昌平區一模）在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC與BD交于點O，EC⊥底面ABCD，F為BE的中點．
（Ⅰ）求證：DE∥平面ACF；
（Ⅱ）求證：BD⊥AE；
（Ⅲ）若AB=

2

CE，在線段EO上是否存在點G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出

EG

EO

的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面平行的判定定理證明DE∥平面ACF；
（Ⅱ）利用線面垂直的判定定理先證明BD⊥平面ACE，然后利用線面垂直的性質證明BD⊥AE；
（Ⅲ）利用線面垂直的性質，先假設CG⊥平面BDE，然后利用線面垂直的性質，確定G的位置即可．

解答：解：（I）連接OF．由ABCD是正方形可知，點O為BD中點．
又F為BE的中點，
所以OF∥DE．
又OF?面ACF，DE?面ACF，
所以DE∥平面ACF…．（4分）
（II） 證明：由EC⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，
∴EC⊥BD，
由ABCD是正方形可知，AC⊥BD，
又AC∩EC=C，AC、E?平面ACE，
∴BD⊥平面ACE，
又AE?平面ACE，
∴BD⊥AE…（9分）
（III）：在線段EO上存在點G，使CG⊥平面BDE．理由如下：
取EO中點G，連接CG，
在四棱錐E-ABCD中，AB=

2

CE，CO=

2

2

AB=CE，
∴CG⊥EO．
由（Ⅱ）可知，BD⊥平面ACE，而BD?平面BDE，
∴平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO，
∵CG⊥EO，CG?平面ACE，
∴CG⊥平面BDE
故在線段EO上存在點G，使CG⊥平面BDE．
由G為EO中點，得

EG

EO

=

1

2

．…（14分）

點評：本題主要考查了空間直線和平面垂直的判定定理和性質定理的應用，要求熟練掌握相應的定理，綜合性較強，難度較大．