Question

記F(a，θ)=

a2+2asinθ+2

a2+2acosθ+2

，對于任意實數a，θ，F（a，θ）的最大值與最小值的和是

4

．

Answer 1

分析：令t=F(a，θ)=

a2+2asinθ+2

a2+2acosθ+2

，把已知函數轉化為關于cosθ，sinθ的方程，利用進而可轉化為直線與圓的位置關系，再利用基本不等式，即可求得函數的最值．

解答：解：令t=F(a，θ)=

a2+2asinθ+2

a2+2acosθ+2

，則2atcosθ-2asinθ+（t-1）（a²+2）=0①，
令x=cosθ，y=sinθ，則①為2atx-2ay+（t-1）（a²+2）=0，其中x²+y²=1
∴直線2atx-2ay+（t-1）（a²+2）=0與圓x²+y²=1有公共點，
∴

|t-1|(a2+2)

2|a| t2+1

≤1
∴

|t-1|

t2+1

≤

2|a|

a2+2

≤

1

2

∴t²-4t+1≤0
∴2-

3

≤t≤2+

3

∴F（a，θ）的最大值與最小值分別為2+

3

，2-

3

，和是4
故答案為：4

點評：本題考查函數的最值，考查函數與方程思想的運用，考查學生的轉化能力，屬于中檔題．