Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+xsinx，對任意x₁，x₂∈（-π，π），若f（x₁）＞f（x₂），則下列式子成立的是（　�。�

A．x₁＞x₂

B．x12＞x22

C．x₁＞|x₂|

D．|x₁|＜|x₂|

Answer 1

分析：由于f（-x）=f（x），故函數(shù)f（x）=x²+xsinx為偶函數(shù)，則f（x₁）＞f（x₂）?f（|x₁|）＞f（|x₂|），f′（x）=2x+sinx+xcosx，當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，從而可得答案．

解答：解：∵f（-x）=（-x）²-xsin（-x）=x²+xsinx=f（x），
∴函數(shù)f（x）=x²+xsinx為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（|x|）；
又f′（x）=2x+sinx+xcosx，
∴當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0，
∴f（x）=xsinx在[0，π]上單調(diào)遞增，
∵f（x₁）＞f（x₂），
∴結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)得f（|x₁|）＞f（|x₂|），
∴|x₁|＞|x₂|，
∴x₁²＞x₂²．
故選B．

點評：本題考查函數(shù)f（x）的奇偶性與單調(diào)性，得到f（x）為偶函數(shù)，在[0，π]上單調(diào)遞增是關(guān)鍵，考查分析轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．