Question

在正四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱PA的長(zhǎng)為，PA與CD所成的角的大小等于．
（1）求正四棱錐P-ABCD的體積；
（2）若正四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，求此球O的半徑．

Answer 1

解：（1）取AB的中點(diǎn)M，記正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)為O'，連PM，PO'，AC，則AC過(guò)O'．
∵PA=PB，∴PM⊥AB，又，，得．…（4分）
AO'=4，PO'=2
∴正四棱錐P-ABCD的體積等于（立方單位）．…（8分）
（2）連AO，OO'，設(shè)球的半徑為R，則OA=R，OO'=R-PO'=R-2，在Rt△OO'A中有R²=（R-2）²+4²，得R=5．…（12分）
分析：（1）取AB的中點(diǎn)M，記正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)為O'，連PM，PO'，AC，則AC過(guò)O'．求出四棱錐的底面面積，與高，即可求正四棱錐P-ABCD的體積；
（2）正四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，連AO，OO'，設(shè)球的半徑為R，通過(guò)解直角三角形，求此球O的半徑．
點(diǎn)評(píng)：本題考查球的內(nèi)接多面體，球的半徑以及幾何體的體積，考查計(jì)算能力與空間想象能力．