Question

（理）已知函數f（x）=x²+bsinx-2，（b∈R），且對任意x∈R，有f（-x）=f（x）．
（I）求b．
（II）已知g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區間（0，1）上為單調函數，求實數a的取值范圍．
（III）討論函數h（x）=ln（1+x²）-f（x）-k的零點個數？

Answer 1

解：（I）∵f（-x）=f（x）
∴（-x）²+bsin（-x）-2=x²+bsinx-2
∴b=0．
（II）∵g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx=x²+2x+alnx
∴
依題意，或在（0，1）上恒成立
即2x²+2x+a≥0或2x²+2x+a≤0在（0，1）上恒成立
由在（0，1）上恒成立，可知a≥0．
由在（0，1）上恒成立，可知a≤-4，
所以a≥0或a≤-4
（III），
令．
所以
令y'=0，則x₁=-1，x₂=0，x₃=1，列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1	（1，+∞）
y′	+	0	-	0	+	0	-
h（x）	單調遞增	極大值	單調遞減	極小值1	單調遞增	極大值	單調遞減

所以當時，函數無零點；
當k＜1或時，函數有兩個零點；
當k=1時，函數有三個零點．
當時，函數有四個零點．
分析：（I）根據對任意x∈R，有f（-x）=f（x）建立等式關系，即可求出b的值；
（II）g（x）=f（x）+2（x+1）+alnx在區間（0，1）上為單調函數，求導函數，，則或在（0，1）上恒成立，然后將a分離出來，研究不等式另一側的最值即可求出a的范圍；
3）令，研究該函數的單調性和極值，結合圖形可判斷函數的零點個數．
點評：本題以函數為載體，考查函數的性質，考查函數恒成立問題，考查函數的零點以及利用導數研究函數的最值，同時考查了計算能力，屬于中檔題．