Question

已知數列是等差數列，且，；又若是各項為正數的等比數列，且滿足，其前項和為，.

(1)分別求數列，的通項公式，；

(2)設數列的前項和為，求的表達式，并求的最小值.

 

Answer 1

【答案】

(1)  ， ；(2) ，.

【解析】

試題分析：(1)首先設出公差和公比，根據已知條件及等比數列和等差數列的性質，列方程組解方程組，求得公差和公比，寫出各自的通項公式；(2)因為取偶數和奇數時，數列的項數會有變化，所以對分取偶數和奇數兩種情況進行討論，根據等差數列和等比數列的前項和公式，求出的表達式，根據前后兩項的變化確定的單調性，求得每種情況下的最小值，比較一下，取兩個最小值中的較小者.

試題解析：(1)設數列的公差是，的公比為，

由已知得，解得，所以；                  2分

又，解得或(舍去)，所以；                  .4分

(2) 當為偶數時，，

當為奇數時.   .10分

當為偶數時，，所以先減后增，

當時，，所以；

當時，，所以；

所以當為偶數時，最小值是.                    12分

當為奇數時，，所以先減后增，

當時，，所以，

當時，，所以，

所以當為奇數時，最小值是.

比較一下這兩種情況下的的最小值，可知的最小值是.         .14分

考點：1、等差數列與等比數列的前項和公式；2、數列與函數單調性的綜合應用；3、數列與求函數最值的綜合運用；4、數列的函數特性.