Question

如圖，平面直角坐標系xOy中，△AOB和△COD為等腰直角三角形，A(-2,0),C(a,0)(a＞0),設△AOB和△COD的外接圓圓心分別為M,N.

（1）若圓M與直線CD相切，求直線CD的方程.

（2）若直線AB截圓N所得弦長為4，求圓N的標準方程.

（3）是否存在這樣的圓N，使得圓N上有且只有三個點到直線AB的距離為2?若存在，求此時圓N的標準方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

解:(1)圓心M(-1,1),∴圓M方程為(x+1)²+(y-1)²=2,

直線CD方程為x+y-a=0.

∵⊙M與直線CD相切,∴圓心M到直線CD的距離d==,

化簡得a=±2(舍去負值).∴直線CD的方程為x+y-2=0.

(2)直線AB方程為x-y+2=0,圓心N(,),

∴圓心N到直線AB距離為=.

∵直線AB截⊙N所得弦長為4,∴2²+()²=.∴a=±2(舍去負值).

∴⊙N的標準方程為(x-)²+(y-)²=6.

(3)存在.由(2)知,圓心N到直線AB距離為(定值),且AB⊥CD始終成立,

∴當且僅當圓N的半徑=2,即a=4時,⊙N上有且只有三個點到直線AB的距離為2.

此時⊙N標準方程為(x-2)²+(y-2)²=8.