Question

已知f（x）=x³-3x，過A（1，m）可作曲線y=f（x）的三條切線，則m的取值范圍是

（-3，-2）

．

Answer 1

分析：先對函數f（x）求導，得到函數f（x）的兩個極值點和一個拐點，得到函數f（x）的大致圖形再分析可得答案．

解答：解：已知點（1，m）在直線x=1上；由f'（x）=3x²-3=0得兩個極值點x=±1；
由f''（x）=6x=0；得一個拐點x=0；
在（-∞，0）f（x）上凸，在（0，+∞）f（x）下凸；
切線只能在凸性曲線段的外側取得，在拐點x=0處有一條上凸和下凸部分的公共切線L其斜率k=f'（0）=-3，方程為：y=-3x；L與直線x=1的交點為（1，-3）
設過點（1，m）的直線為l
當m＞-2時，l與函數f（x）上凸部分相切且有兩條切線，l與下凸部分只能相交；
當m＜-3時，l與f（x）下凸部分相切且有兩條切線，l與上凸部分只能相交；
當-3＜m＜-2時，l與f（x）下凸部分相切且有兩條切線，l與上凸部分也相切但只有一條，共3條；其中，當m=-3時下凸部分的切線之一與上凸部分的切線重合，共有2條
所以m的取值范圍是-3＜m＜-2
故答案為：（-3，-2）

點評：本題主要考查導數的幾何意義，即函數在某點的導數值等于該點的切線的斜率．屬難題．