Question

已知函數f（x）=x³+3ax-1，a為實常數．
（1）a在什么范圍內時，y=f（x）與y=3只有一個公共點？
（2）若?(x)=|

f(x)+1

x2

|在[-2，0)∪(0，2]上有最小值2，求a的值．

Answer 1

分析：（1）要使函數f（x）=x³-3a²x+1的圖象與直線y=3只有一個公共點，只需利用函數的最大值或最小值與3進行比較，先求出函數f（x）的導數，由于實數a的值不確定，故要分類討論．
（2）根據題意，由∅（-x）=∅（x），可知∅（x）為偶函數，則原題即為∅（x）在（0，2]上有最小值2．對a值分三種情況討論，分別求導，判斷單調性，求出最小值，令其等于2，可以解得a的值，分析取舍可得答案．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+3a=3（x²+a）．
①當a≥0時，f′（x）≥0，所以f（x）在R上單調增，此時y=f（x）與y=3只有一個公共點；
②當時，f′(x)=3(x+

-a

)(x-

-a

)．由f'（x）=0，得x1=-

-a

，x2=

-a

．
在x∈R上列表：

x	（-∞，- -a ）	- -a	（- -a ， -a ）	-a	（ -a ，+∞）
f′（x）	+	0	─	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

因為y=f（x）與y=3只有一個公共點，所以f（x）_極大值＜3或f（x）_極小值＞3．
所以f(-

-a

)＜3，或f(

-a

)＞3，得-

3	4

＜a＜0．
綜上，a＞-1，y=f（x）與y=3只有一個公共點．
（2）?(x)=|

f(x)+1

x2

|=|

x3+3ax-1+1

x2

|=|x+

3a

x

|．
由∅（-x）=∅（x），可知∅（x）為偶函數，則原題即為∅（x）在（0，2]上有最小值2．
設g(x)=x+

3a

x

（x∈（0，2]），則g′(x)=1-

3a

x2

=

x2-3a

x2

．
①a＜0時，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，2]上單調增，所以g(x)∈(-∞，2+

3a

2

]．
因為∅（x）在（0，2]上有最小值2，所以2+

3a

2

=-2，所以a=-

8

3

．
②a=0時，∅（x）=x，無最小值，不合題意．
③a＞0時，∅（x）=g（x），g′(x)=

x2-3a

x2

=

(x+ 3a )(x- 3a )

x2

．
（I）

3a

≥2，即a≥

4

3

時，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，2]上單調減，所以g(x)∈[2+

3a

2

，+∞)，
此時∅（x）在（0，2]上的最小值為2+

3a

2

≠2，不合．
（II）

3a

＜2，即0＜a＜

4

3

時，由g'（x）=0，得x=

3a

．
在x∈（0，2]上列表：

x	（0， 3a ）	3a	（ 3a ，2）	2
g′（x）	─	0	+
g（x）	↘	極小值	↗	2+ 3a 2

∴φ(x)min=g(x)min=g(

3a

)=2

3a

=2，所以a=

1

3

．
綜上，a的值為-

8

3

或

1

3

．

點評：本題主要考查函數的單調性、極值以及函數導數的應用，考查運用數學知識分析問題解決問題的能力．