Question

（2009•湖北模擬）已知函數f(x)=

x3-1 x-1 ，x≠1 a，x=1

，若f(x)在R上連續，則 

lim

n→∞

(

an-1

n

+

2a

3n

)=

3

．

Answer 1

分析：本題中函數是一個分段函數，由于函數在xR上連續，故可知函數在點x=1處連續，由其左右兩側函數值的極限相等建立方程求參數，由于其中一段在x=1處無定義，故需要先對其進行變形，以方便判斷其右側函數值的極限．根據極限的運算法則，即可求得結果．

解答：解：當x≠1時，f（x）=

x3-1

x -1

=x2+x+1
由于函數在x=1處連續，故有
a=1+1+1=3
 

lim

n→∞

(

an-1

n

+

2a

3n

)=

lim

n→∞

（

3n-1

n

+

2

n

）=

lim

n→∞

（3+

1

n

）=3
故答案為：3．

點評：本題考點是函數的連續性，考查由函數的連續性得到參數的方程求參數，函數連續性的定義是：如果函數在某點處的左極限與右極限相等且等于該點處的函數值，則稱此函數在該點處連續．本題中對x≠1時的解析式進行化簡是一個難點，變形時要嚴謹、認真，避免變形出錯．屬中檔題．