Question

已知f（x）是定義在R上的奇函數，且當x＜0時，f(x)=x2+

1

x

．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）判斷并證明函數f（x）在區間（0，+∞）上的單調性．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 易得f（0）=0，令x＞0，則-x＜0，代入已知結合函數的奇偶性可得解析式；
（Ⅱ） 函數f（x）在區間（0，+∞）上是減函數，可用定義法證明．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）是奇函數，
∴對定義域R內任意的x，都有f（-x）=-f（x）--（1分）
令x=0得，f（0）=-f（0），即f（0）=0--------------（3分）
又當x＞0時，-x＜0，此時f(x)=-f(-x)=-[(-x)2+(

1

-x

)]=-x2+

1

x

---（5分）
綜合可得：f(x)=

x2+ 1 x ，x＜0 0，x=0 -x2+ 1 x ，x＞0

--------（7分）
（Ⅱ） 函數f（x）在區間（0，+∞）上是減函數，下面給予證明．-----------（8分）
設0＜x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=(-

x

2 1

+

1

x1

)-(-

x

2 2

+

1

x2

)
=(x2-x1)•(x2+x1+

1

x1x2

)-----（10分）
∵0＜x₁＜x₂，
∴x2-x1＞0，x2+x1＞0，

1

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）---（13分）
故函數f（x）在區間（0，+∞）上是減函數．------------（14分）

點評：本題考查函數的單調性，涉及對稱區間的解析式的求解，屬基礎題．