Question

已知函數f（x）=x³+x²+ax+b．
（1）當a=-1時，求函數f（x）的單調區間；
（2）若函數f（x）的圖象與直線y=ax只有一個公共點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求原函數的導數，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可；
（2）將題中條件：“函數f（x）的圖象與直線y=ax只有一個公共點，”等價于“g（x）=x³+x²+b的其圖象和x軸只有一個交點”，利用導數求得原函數的極值，最后要使g（x）=x³+x²+b的其圖象和x軸只有一個交點，得到關于b的不等關系，從而求實數b的取值范圍．

解答：解：（1）當a=-1時，f′（x）=3x²+2x-1=（3x-1）（x+1）令f'（x）＞0，
解得x＞

1

3

或x＜-1，令f'（x）＜0，解得-1＜x＜

1

3

所以f（x）的單調遞增區間為（-∞，-1），(

1

3

，+∞)，f（x）的單調遞減區間為(-1，

1

3

)（4分）
（2）因為函數f（x）的圖象與直線y=ax只有一個公共點，
所以方程x³+x²+ax+b-ax=0只有一個解，即x³+x²+b，則其圖象與x軸只有一個交點，
g'（x）=3x²+2x，令g'（x）=3x²+2x=0，所以x₁=0，x₂=-

2

3

，（7分）
可列表：
∴g（x）在x₁=0處取得極小值b，在x₂=-

2

3

取得極大值

4

27

+b
要使g（x）=x³+x²+b的其圖象和x軸只有一個交點，
只需

b＞0 4 27 +b＞0

或

b＜0 4 27 +b＜0

，解得b＞0或b＜-

4

27

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的單調性、導數在最大值、最小值問題中的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，轉化思想．