Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為BD₁的中點，M為BC的中點，N為AB的中點，P為BB₁的中點．
（1）求證：BD₁⊥平面MNP；
（2）求異面直線B₁O與C₁M所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BC₁，欲證BD₁⊥平面MNP，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD₁與平面MNP內兩相交直線垂直，而BD₁⊥PM，而BD₁⊥MN，MN∩PM=M，滿足定理條件；
（2）延長CB到Q，使BQ=BM，連接B₁Q，OQ，根據異面直線所成角的定義可知∠OB₁Q是異面直線B₁O與C₁M所成的角，在三角形OB₁Q中利用余弦定理進行求解即可．
解答：解：（1）連接BC₁
由正方體的性質得BC₁是BD₁在
平面BCC₁B₁內的射影（3分）且B₁C⊥BC₁，
所以BD₁⊥B₁C（5分）
B₁C∥PM，則BD₁⊥PM，而BD₁⊥MN
又MN∩PM=M，∴BD₁⊥平面MNP．
（2）延長CB到Q，使BQ=BM，連接B₁Q，OQ
則QM∥C₁B₁，且QM=C₁B₁．
∴B₁Q∥C₁M．
∴∠OB₁Q是異面直線B₁O與C₁M所成的角．（12分）
由于正方體的棱長為2，
則B₁O=，B₁Q==
設底面ABCD的中點為O₁，
可求得OQ==
cos∠OB₁Q==
即異面直線B₁O與C₁M所成角的大小為arccos．（14分）
點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定，以及異面直線所成的角，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．