Question

已知奇函數函數f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），當x＞0時，
（1）求f（-2）的值；
（2）當x＜0時，求f（x）的解析式；
（3）求證：函數f（x）在區間（0，+∞）上是單調增函數．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數f（x）為奇函數，x＞0時，，能求出f（-2）．
（2）設x＜0，則-x＞0，故，再由函數f（x）為奇函數，能求出x＜0時，f（x）的解析式．
（3）任意0＜x₁＜x₂，由f（x₁）-f（x₂）=，能證明f（x）在（0，+∞）上為增函數．
解答：解：（1）∵函數f（x）為奇函數，定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
x＞0時，
∴…（4分）
（2）設x＜0，則-x＞0，
∴…（6分）
∵函數f（x）為奇函數
∴當x＜0時，…（9分）
（3）證明：任意0＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=-+1-（-+1）
==．
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴，即f（x₁）＜f（x₂），
故f（x）在（0，+∞）上為增函數．
點評：本題考查函數函數值的求法，考查函數解析式的求法，考查函數單調性的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．