Question

已知函數.

（1）當時，判斷的奇偶性，并說明理由；

（2）當時，若，求的值；

（3）若，且對任何不等式恒成立，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）既不是奇函數，也不是偶函數；（2）所以或；（3）當時，的取值范圍是，當時，的取值范圍是；當時，的取值范圍是．

【解析】

試題分析：（1）時，為確定的函數，要證明它具有奇偶性，必須按照定義證明，若要說明它沒有奇偶性，可舉一特例，說明某一對值與不相等（不是偶函數）也不相反（不是奇函數）．（2）當時，為，這是含有絕對值符號的方程，要解這個方程一般是分類討論絕對值符號里的式子的正負，以根據絕對值定義去掉絕對值符號，變成通常的方程來解．（3）不等式恒成立時要求參數的取值范圍，一般要把問題進行轉化，例如分離參數法，或者轉化為函數的最值問題．即為，可以先把絕對值式子解出來，這時注意首先把分出來，然后討論時，不等式化為，于是有，即，這個不等式恒成立，說明，這時我們的問題就轉化為求函數的最大值，求函數的最小值．

試題解析：（1）當時，既不是奇函數也不是偶函數（2分）

所以既不是奇函數，也不是偶函數   （4分）

（2）當時，，

由得  （1分）

即  （3分）

解得   （5分）

所以或    （6分）

（3）當時，取任意實數，不等式恒成立，

故只需考慮，此時原不等式變為 （1分）

即

故      

又函數在上單調遞增，所以；（2分）

對于函數

①當時，在上單調遞減，，又，

所以，此時的取值范圍是（3分）

②當，在上，，

當時，，此時要使存在，

必須有，此時的取值范圍是（4分）

綜上，當時，的取值范圍是

當時，的取值范圍是；

當時，的取值范圍是    （6分）

考點：（1）函數的奇偶性；（2）含絕對值的方程；（2）含參數的不等式恒成立問題．