Question

已知⊙O的直徑為10，AB是⊙O的一條直徑，長為20的線段MN的中點P在⊙O上運動（異于A、B兩點）．
（Ⅰ）求證：•與點P在⊙O上的位置無關；
（Ⅱ）當與的夾角θ取何值時，•有最大值．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵AB為⊙O的直徑，P為圓上一點，∴AP⊥BP，
∴，則，
∵P為MN的中點，且=20，∴=，，
∴•=（+）（+）=（-）（+）
=•+•-•-•
=（-）-100=•-100，
∴•僅與•的夾角有關，而與點P在⊙O上的位置無關；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
•=•-100=100cosθ-100，
∵0≤θ＜π，∴當θ=0時，•取最大值為0．
分析：（Ⅰ）由AB為⊙O的直徑得，利用向量的加法和減法運算來表示•，由向量數量積的運算和條件進行化簡；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）化簡的結果和向量夾角的范圍，求出夾角的余弦值的最大值代入，求出兩個向量數量積的最大值．
點評：本題考查了利用向量的線性運算和數量積運算，進行向量式子的求值和求解，主要根據圖形的特點和條件進行轉化，進而利用條件和夾角的范圍求出式子的值．