Question

已知F為拋物線y²=2px（p＞0）的焦點，點A（4，2）為拋物線內一定點，點P為拋物線上一動點，|PA|+|PF|最小值為8．
（1）求該拋物線的方程；
（2）若直線x-y-3=0與拋物線交于B、C兩點，求△BFC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義和三點共線時的性質即可求出；
（2）利用弦長公式和點到直線的距離公式即可得出．

解答：解：（1）設d為點P到x=-

p

2

的距離，則由拋物線定義，|PF|=d，
∴當點P為過點A且垂直于準線的直線與拋物線的交點時，|PA|+|PF|取得最小值，即4+

p

2

=8，解得p=8．
∴拋物線的方程為y²=16x．
（2）設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），聯立

x-y-3=0 y2=16x

得y²-16y-48=0，
顯然△＞0，y₁+y₂=16，y₁y₂=-48．
∴|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

162+4×48

=8

7

，
∴|BC|=

2

|y1-y2|=8

14

．
又∵F（4，0）到直線l的距離為

|4-3|

2

=

2

2

，
∴S△BFC=

1

2

|BC|•d=

1

2

×8

14

×

2

2

=4

7

．

點評：熟練掌握拋物線的定義、兩線段長的和取得最小值的條件、直線與圓錐曲線相交時的弦長公式、點到直線的距離公式是解題的關鍵．