Question

如圖所示，已知圓O₁與圓O₂外切，它們的半徑分別為3、1，圓C與圓O₁、圓O₂外切．
（1）建立適當的坐標系，求圓C的圓心的軌跡方程；
（2）在（1）的坐標系中，若圓C的半徑為1，求圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）根據求曲線的軌跡方程常采用的方法定義法，由|CO₁|-|CO₂|=2即可得圓心的軌跡方程；
（2）欲求圓C的方程，關鍵是求其圓心的坐標，令C（x，y），由圓C與圓O₁、O₂相切得關于x，y的方程組解之即得．

解答：解：（1）如圖，以O₁O₂所在的直線為x軸，以O₁O₂的中垂線
所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系．設圓C的圓心
為C（x，y），半徑為r，由|CO₁|-|CO₂|=（r+3）-（r+1）=2，
得圓C的圓心的軌跡是以O₁（-2，0），O₂（2，0）為焦點，
定長為2的雙曲線，設它的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1．由2a=2，得a=1，
又c=2，∴b²=c²-a²=3．又點（1，0）不合題意，且|CO₁|-|CO₂|=2＞0，知x＞1．
∴圓C的圓心的軌跡方程是x2-

y2

3

=1（x＞1）．
（2）令C（x，y），由圓C與圓O₁、O₂相切得|CO₁|=4，|CO₂|=2，
故

(x+2)2+y2=16 (x-2)2+y2=4

，解得C(

3

2

，±

15

2

)，
∴圓C的方程為(x-

3

2

)2+(y±

15

2

)2=1．

點評：求曲線的軌跡方程是解析幾何的基本問題．求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系．定義法，若動點軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等），可用定義直接探求．