Question

（本題滿分15分）已知的三個頂點在拋物線上，是拋物線的焦點，且,．

（Ⅰ）求拋物線的方程；

（Ⅱ）若直線與上述拋物線相交于點，直線過點且與處的切線垂直． 求證：直線關于直線的對稱直線經過定點．

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）（Ⅱ）關于的對稱直線經過定點

【解析】本題主要考查拋物線的幾何性質、直線與拋物線、向量、相切、對稱等，同時考查解析幾何的基本思想方法和運算求解能力.

（1）由拋物線的定義得到關于p的關系式得到p的值，從而得到拋物線的方程。

（2）設點p， 過的拋物線的切線的斜率為表出切線方程，然后利用斜率設的傾斜角為可得關于的對稱直線的傾斜角為

得到過定點的求證。

（Ⅰ）解：由已知，

拋物線的方程是

（Ⅱ）解：

過的拋物線的切線的斜率為

的方程為

設的傾斜角為可得關于的對稱直線的傾斜角為

又

的方程為

即過定點

關于的對稱直線經過定點