Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

3

，右準線方程為x=

3

3

．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在圓x²+y²=5上，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由離心率和準線方程求的a和c，再根據b²=c²-a²求得b，進而可得雙曲線的方程．
（Ⅱ）設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段AB的中點為M（x₀，y₀），直線方程與雙曲線方程聯立根據韋達定理表示出x₀和y₀，把點M代入圓的方程氣的m．

解答：解：（Ⅰ）由題意，得

a2 c = 3 3 c a = 3

，解得a=1，c=

3

，
∴b²=c²-a²=2，
∴所求雙曲線C的方程為x2-

y2

2

=1．

（Ⅱ）設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），線段AB的中點為M（x₀，y₀），
由

x-y+m=0 x2- y2 2 =1

得x²-2mx-m²-2=0（判別式△＞0），
∴x0=

x1+x2

2

=m，y₀=x₀+m=2m，
∵點M（x₀，y₀）在圓x²+y²=5上，
∴m²+（2m）²=5，∴m=±1．

點評：本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理、運算能力