Question

（本題滿分12分）設函數（R）.

（Ⅰ）當時，求的極值；

（Ⅱ）當時，求的單調區間；

（Ⅲ）當時，對于任意正整數n，在區間上總存在m+4個數使得

成立，試問：正整數m是否有最大值？若有求其最大值；否則，說明理由.

Answer 1

（本題滿分12分）

解：（Ⅰ）依題意，知的定義域為.

當時， ，.

令，解得.

當時，；當時， .

又，

所以的極小值為，無極大值 ．…………………………（3分）

（Ⅱ）

 ．　

令，解得.　　　　　…………………………（4分）

若，令，得；令，得 ．

若，

①當時，，

令，得或；

令，得.

②當時，.

③當時，得，

令，得或；

令，得.

綜上所述，當時，的遞減區間為，遞增區間為.　

當時，的遞減區間為；遞增區間為.

當時，遞減區間為.當時，的遞減區間為，遞增區間為.　        …………………………（8分）

（Ⅲ）當時，，

由，知時， ．， .

依題意得： 對一切正整數成立．　……………（10分）

令 ，則（當且僅當時取等號）.

又在區間單調遞增，得，

故，又為正整數，得，

當時，存在，，

對所有滿足條件.

所以，正整數的最大值為32．　　　　…………………………………（12分）