Question

已知函數f（x）=ax²-|x|+2a-1（a為實常數）．
（1）若a=1，作函數f（x）的圖象；
（2）設f（x）在區間[1，2]上的最小值為g（a），求g（a）的表達式；
（3）設h(x)=

f(x)

x

，若函數h（x）在區間[1，2]上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1時，f（x）=x²-|x|+1=

x2+x+1，x＜0 x2-x+1，x≥0

，由此作出函數的圖象．
（2）當x∈[1，2]時，f（x）=ax²-x+2a-1，分a=0、a＜0、0＜

1

2a

＜1、1≤

1

2a

≤2、

1

2a

＞2這幾種情況，結合函數
的圖象，利用函數的單調性，求出g（a）的解析式．
（3）根據h（x）在區間[1，2]上是增函數，h（x₂）-h（x₁）＞0，可得ax₁x₂＞2a-1，分a=0、a＞0、a＜0分別求得實數a的取值范圍，再取并集即得所求．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=x²-|x|+1=

x2+x+1，x＜0 x2-x+1，x≥0

．
作圖（如圖所示）（4分）
（2）當x∈[1，2]時，f（x）=ax²-x+2a-1．
若a=0，則f（x）=-x-1在區間[1，2]上是減函數，g（a）=f（2）=-3．（5分）
若a≠0，則f(x)=a(x-

1

2a

)2+2a-

1

4a

-1，f（x）圖象的對稱軸是直線x=

1

2a

．
當a＜0時，f（x）在區間[1，2]上是減函數，g（a）=f（2）=6a-3．（6分）
當0＜

1

2a

＜1，即a＞

1

2

時，f（x）在區間[1，2]上是增函數，
g（a）=f（1）=3a-2．（7分）
當1≤

1

2a

≤2，即

1

4

≤a≤

1

2

時，g(a)=f(

1

2a

)=2a-

1

4a

-1，（8分）
當

1

2a

＞2，即0＜a＜

1

4

時，f（x）在區間[1，2]上是減函數，g（a）=f（2）=6a-3．（9分）

綜上可得g(a)=

6a-3，當a＜ 1 4 2a- 1 4a -1，當 1 4 ≤a≤ 1 2 3a-2，當a＞ 1 2

．（10分）
（3）當x∈[1，2]時，h(x)=ax+

2a-1

x

-1，在區間[1，2]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則h(x2)-h(x1)=(ax2+

2a-1

x2

-1)-(ax1+

2a-1

x1

-1)=(x2-x1)(a-

2a-1

x1x2

)=(x2-x1)•

ax1x2-(2a-1)

x1x2

．（12分）
因為h（x）在區間[1，2]上是增函數，所以h（x₂）-h（x₁）＞0，
因為x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以ax₁x₂-（2a-1）＞0，即ax₁x₂＞2a-1，
當a=0時，上面的不等式變為0＞-1，即a=0時結論成立．（14分）
當a＞0時，x1x2＞

2a-1

a

，由1＜x₁x₂＜4得，

2a-1

a

≤1，解得0＜a≤1，（16分）
當a＜0時，x1x2＜

2a-1

a

，由1＜x₁x₂＜4得，

2a-1

a

≥4，解得-

1

2

≤a＜0，（17分）
綜上，實數a的取值范圍為[-

1

2

，1]．（18分）

點評：本題主要考查帶有絕對值的函數的圖象和性質的應用，體現了分類討論的數學思想，注意分類討論的層次，這是解題的難點，屬于中檔題．