Question

已知向量

m

=（2cos²x，sinx），

n

=（1，2cosx）．
（1）若

m

⊥

n

且0＜x＜π，試求x的值；
（2）設f（x）=

m

•

n

，試求f（x）的對稱軸方程，對稱中心，單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）由題意，利用向量的坐標運算公式可求得sin（2x+

π

4

）=-

2

2

，再結合0＜x＜π，即可求x的值；
（2）利用f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1即可求f（x）的對稱軸方程，對稱中心，單調遞增區間．

解答：解：（1）∵

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，又

m

=（2cos²x，sinx），

n

=（1，2cosx），
∴2cos²x+2sinxcosx=0，
∴cos2x+sin2x+1=0，即

2

sin（2x+

π

4

）=-1，
∴sin（2x+

π

4

）=-

2

2

．
∵0＜x＜π，
∴2x+

π

4

∈(

π

4

，

9π

4

)，
∴2x+

π

4

=

5π

4

或

7π

4

，
∴x=

π

2

或

3π

4

．
（2）由題意得f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)+1．
令2x+

π

4

=kπ+

π

2

可得x=

kπ

2

+

π

8

，
∴f（x）的對稱軸方程為：x=

kπ

2

+

π

8

；
令2x+

π

4

=kπ可得x=

kπ

2

-

π

8

，
∴f（x）的對稱軸中心為：（

kπ

2

-

π

8

，1）；
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，
∴f（x）單調遞增區間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．

點評：本題考查數量積判斷兩個平面向量的垂直關系，考查正弦函數的對稱性與單調性，得到f（x）=

2

sin（2x+

π

4

）+1是求f（x）的對稱軸方程，對稱中心，單調遞增區間的關鍵，屬于中檔題．