Question

【題目】設命題p：實數x滿足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，命題q：實數x滿足 2＜x≤3．
（1）若a=1，有p且q為真，求實數x的取值范圍．
（2）若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：命題p：實數x滿足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．

命題q中：實數x滿足 2＜x≤3．

若a=1，則p中：1＜x＜3，

∵p且q為真，∴ ，解得2＜x＜3，

故所求x∈（2，3）

（2）解：若p是q的充分不必要條件，

則q是p 的充分不必要條件，

∴ ，解得1＜a≤2，

∴a的取值范圍是（1，2]

【解析】（1）命題p：實數x滿足（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，解得a＜x＜3a．若a=1，則p中：1＜x＜3，由p且q為真，可得p與q都為真，即可得出．（2）若p是q的充分不必要條件，可得q是p 的充分不必要條件，即可得出．