Question

已知函數
（1）若的極值點，求實數a的值；
（2）若上為增函數，求實數a的取值范圍；
（3）當有實根，求實數b的最大值。

Answer 1

解：（1）……1分
因為為的極值點，所以
即，解得，又當時，，從而為的極值點成立。…………2分
（2）因為在區間上為增函數，所以在區間上恒成立�！�………3分
①當時，在區間上恒成立，在區間上為增函數，符合題意。…………4分
②當時，由函數的定義域可知，必有對成立，
故只能…………5分
故對恒成立
令，其對稱軸為
從而要使對恒成立，只要即可…………6分
  解得：
，故
綜上所述，實數的取值范圍為…………7分
（3）若時，方程可化為，．
問題轉化為在上有解，
即求函數的值域．………………………………8分
以下給出兩種求函數值域的方法：
解法一：，令
則…………9分
所以當時，，從而在上為增函數
當時，，從而上為減函數
因此…………10分
而，故…………11分
因此當時，取得最大值………12分
解法二：因為，所以
設，則………9分
當時，，所以在上單調遞增
當時，，所以在上單調遞減
因為，故必有，又…10分
因此必存在實數使得
當時，，所以在上單調遞減；
當時，，所以在上單調遞增
當時，，所以在上單調遞減………11分
又因為
當時，，則，又
因此當時，取得最大值

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。主要是極值的概念和根據單調區間，求解參數的取值范圍，以及利用函數與方程的思想求解參數b的最值。