Question

【題目】如圖所示，在多面體中，矩形所在平面與直角梯形所在平面垂直，，，為的中點，且，.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

(1)要證平面，即證，構造四邊形，證明其為平行四邊形即可；

(2) 以為原點，分別以、、為，，軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法即可求出直線與平面所成角的正弦值.

（1）證明：如圖，

取的中點，連結.

∵是的中點，是的中點.

∴，.

又，.∴，.

∴四邊形是平行四邊形，∴.

又∵平面，平面.

∴平面.

（2）∵平面平面，，平面平面，

∴平面.∴，.

∵，，∴.

如圖，以為原點，分別以、、為，，軸，建立空間直角坐標系，

則，，，，，，，

∴，.

設平面的一個法向量為，

則，令，得，，∴.

又，∴.

∴直線與平面所成角的正弦值為.