Question

已知點A（-1，0），B（1，0），直線AM，BM相交于點M，且k_MA×k_MB=-2．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）過定點（0，1）作直線PQ與曲線C交于P，Q兩點，且|PQ|=

3 2

2

，求直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（1）利用k_MA×k_MB=-2，化簡可得結論；
（2）先判斷直線PQ的斜率存在，設出方程代入橢圓方程，利用韋達定理，結合弦長公式，即可求直線PQ的方程．

解答：解：（1）設M（x，y），（1分）
則kMA=

y

x+1

，kMb=

y

x-1

，(x≠±1)（3分）
∴

y

x+1

×

y

x-1

=-2（4分）
∴x2+

y2

2

=1（x≠±1）（6分）（條件1分）
（2）當直線PQ的斜率不存在時，即PQ是橢圓的長軸，其長為2

2

，顯然不合，即直線PQ的斜率存在，（7分）
設直線PQ的方程是y=kx+1，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則y₁-y₂=k（x₁-x₂），（8分）
聯立

x2+ y2 2 =1 y=kx+1

，
消去y得（k²+2）x²+2kx-1=0（9分）
∵△=（4k²）+4（k²+2）=8（k²+1）＞0，
∴k∈R，（10分）
x1+x2=-

2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

（11分）
∴|PQ|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=2

2

k2+1

k2+2

，（12分）
∴|PQ|=

3 2

2

=2

2

k2+1

k2+2

，k2=2，k=±

2

，（13分）
∴直線PQ的方程是y=±

2

x+1．                                （14分）

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查弦長的計算，正確運用韋達定理是關鍵．