Question

已知圓C以為圓心且經過原點O．
（Ⅰ）若直線2x+y-4=0與圓C交于點M，N，若|OM|=|ON|，求圓C的方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，已知點B的坐標為（0，2），設P，Q分別是直線l：x+y+2=0和圓C上的動點，求|PB|+|PQ|的最小值及此時點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用圓的標準方程寫出圓的方程，根據線段的中垂線的性質判斷出C，H，O三點共線，利用兩點連線的斜率公式求出直線OC的斜率，列出關于t的方程，求出t的值．通過圓心到直線的距離與圓半徑的大小的比較，判斷出直線與圓的關系是否相交．
（II）求出點B關于直線x+y+2=0的對稱點，將已知問題轉化為對稱點到圓上的最小值問題，根據圓的幾何條件，圓外的點到圓上的點的最小值等于該點到圓心的距離減去半徑．
解答：解：由題知，圓C方程為，
化簡得
（Ⅰ）∵|OM|=|ON|，則原點O在MN的中垂線上，
設MN的中點為H，則CH⊥MN．
∴C，H，O三點共線，
則直線OC的斜率或t=-2，
知圓心C（2，1）或C（-2，-1），
所以圓方程為（x-2）²+（y-1）²=5或（x+2）²+（y+1）²=5，
由于當圓方程為（x+2）²+（y+1）²=5時，
直線2x+y-4=0到圓心的距離d＞r，不滿足直線和圓相交，故舍去．
∴圓C方程為（x-2）²+（y-1）²=5．   
（Ⅱ） 點B（0，2）關于直線x+y+2=0的對稱點為B′（-4，-2），
則|PB|+|PQ|=|PB′|+|PQ|≥|B′Q|，
又B′到圓上點Q的最短距離為，
所以|PB|+|PQ|的最小值為，
直線B′C的方程為，
則直線B′C與直線x+y+2=0的交點P的坐標為．
點評：求圓的方程一般利用的方法是待定系數法；解決直線與圓的有關的問題常利用圓的一些幾何意義：常需要解圓心距、弦長的一半、圓的半徑構成的直角三角形；圓外的點到圓上的最值常求出點到圓心的距離加上或減去圓的半徑．