Question

已知函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）設(shè)函數(shù)g(x)=log2(a•2x-

4

3

a)，其中a＞0．若函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)．由偶函數(shù)的定義，構(gòu)造一個關(guān)于k的方程，解方程即可求出k的值；
（2）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個交點，即方程log₂（4^x+1）-x=log2(a•2x-

4

3

a)在（log2

4

3

，+∞）有且只有一解，即方程

4x+1

2x

=a•2x-

4

3

a在(log2

4

3

，+∞)上只有一解，利用換元法，將方程轉(zhuǎn)化為整式方程后，分類討論后，即可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數(shù)
∴f（-x）=log₂（4^-x+1）-kx=f（x）=log₂（4^x+1）+kx恒成立
即log₂（4^x+1）-2x-kx=log₂（4^x+1）+kx恒成立
解得k=-1
（2）∵a＞0
∴函數(shù)g(x)=log2(a•2x-

4

3

a)的定義域為（log2

4

3

，+∞）
即滿足2x＞

4

3

函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個交點，
∴方程log₂（4^x+1）-x=log2(a•2x-

4

3

a)在（log2

4

3

，+∞）有且只有一解
即：方程

4x+1

2x

=a•2x-

4

3

a在(log2

4

3

，+∞)上只有一解
令2^x=t，則t＞

4

3

，因而等價于關(guān)于t的方程(a-1)t2-

4

3

at-1=0（*）在(

4

3

，+∞)上只有一解
當(dāng)a=1時，解得t=-

3

4

∉(

4

3

，+∞)，不合題意；
當(dāng)0＜a＜1時，記h(t)=(a-1)t2-

4

3

at-1，其圖象的對稱軸t=

2a

3(a-1)

＜0
∴函數(shù)h(t)=(a-1)t2-

4

3

at-1在（0，+∞）上遞減，而h（0）=-1
∴方程（*）在(

4

3

，+∞)無解
當(dāng)a＞1時，記h(t)=(a-1)t2-

4

3

at-1，其圖象的對稱軸t=

2a

3(a-1)

＞0
所以，只需h(

4

3

)＜0，即

16

9

(a-1)-

16

9

a-1＜0，此恒成立
∴此時a的范圍為a＞1
綜上所述，所求a的取值范圍為a＞1．

點評：本題考查的知識點是函數(shù)與方程的綜合運用，偶函數(shù)，其中根據(jù)偶函數(shù)的定義求出k值，進而得到函數(shù)f（x）的解析式，是解答的關(guān)鍵．