Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c，曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1．
（1）若函數y=f（x）在x=-2時有極值，求f（x）表達式；
（2）若函數y=f（x）在區間[-2，1]上單調遞增，求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出導函數，令導函數在1處的值為3，在-2處的值為0，函數在1處的值為4，列出方程組求出a，b，c的值．
（2）令導函數大于等于0在[-2，1]上恒成立，通過對對稱軸與區間關系的討論求出導函數在區間的最小值，令最小值大于等于0，求出b的范圍．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b
∵曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程為y=3x+1．
∴

f′(1)=3 f(1)=4

即

3+2a+b=3 1+a+b+c=4

∵函數y=f（x）在x=-2時有極值
∴f′（-2）=0即-4a+b=-12
∴

3+2a+b=3 1+a+b+c=4 -4a+b=-12

解得a=2，b=-4，c=5
∴f（x）=x³+2x²-4x+5
（2）由（1）知，2a+b=0
∴f′（x）=3x²-bx+b
∵函數y=f（x）在區間[-2，1]上單調遞增
∴f′（x）≥0即3x²-bx+b≥0在[-2，1]上恒成立
①當x=

b

6

≥1時f′（x）的最小值為f′（1）=1-b+b≥0∴b≥6
②當x=

b

6

≤-2時，f′(x)的最小值為f′（-2）=12+2b+b≥0∴b∈∅
③-2＜

b

6

＜1時，f′（x）的最小值為

12b-b2

12

≥0
∴0≤b≤6
總之b的取值范圍是0≤b≤6

點評：本題考查導數的幾何意義：導數在切點處的值是切線的斜率；考查函數單調遞增對應的導函數大于等于0恒成立，．