Question

已知關于x的方程x²-2mx+m+6=0的兩個根為x₁，x₂，求函數y=（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值．

Answer 1

解：∵方程x²-2mx+m+6=0的兩個根為x₁，x₂，
∴且△=4（m²-m-6）≥0，
∴y=（x₁-1）²+（x₂-1）²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂-2（x₁+x₂）+2=4m²-6m-10，
且m≥3或m≤-2．
由二次函數的性質知，當m=3時，
函數y=4m²-6m-10的取得最小值，最小值為：8．
即函數y=（x₁-1）²+（x₂-1）²的最小值是8．
分析：先根據根與系數的關系利用參數m表示出函數的解析式，必須注意參數m的取值范圍，再結合二次函數的圖象與性質求出最小值即可．
點評：本題主要考查了二次方程根與系數的關系、二次函數最值等函數與方程的綜合運用．