Question

（2011•資陽一模）已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若數列{b_n}滿足：an=

b1

3+1

+

b2

32+1

+

b3

33+1

+…+

bn

3n+1

，求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）令cn=

anbn

4

（n∈N^*），求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=2，當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）由an=

b1

3+1

+

b2

32+1

+

b3

33+1

+…+

bn

3n+1

（n≥1），知an+1=

b1

3+1

+

b2

32+1

+

b3

33+1

+…+

bn

3n+1

+

bn+1

3n+1+1

，所以

bn+1

3n+1+1

=an+1-an=2，由此能求出b_n．
（Ⅲ）cn=

anbn

4

=n（3ⁿ+1）=n•3ⁿ+n，所以T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n），令H_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，由錯位相減法能求出Hn=

(2n-1)×3n+1+3

4

，由此能求出數列{c_n}的前n項和．

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=S₁=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，
知a₁=2滿足該式，
∴數列{a_n}的通項公式為a_n=2n．（2分）
（Ⅱ）∵an=

b1

3+1

+

b2

32+1

+

b3

33+1

+…+

bn

3n+1

（n≥1）①
∴an+1=

b1

3+1

+

b2

32+1

+

b3

33+1

+…+

bn

3n+1

+

bn+1

3n+1+1

②（4分）
②-①得：

bn+1

3n+1+1

=an+1-an=2，
b_n+1=2（3ⁿ⁺¹+1），
故b_n=2（3ⁿ+1）（n∈N^*）．（6分）
（Ⅲ）cn=

anbn

4

=n（3ⁿ+1）=n•3ⁿ+n，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n）（8分）
令H_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，①
則3H_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹②
①-②得：-2H_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹
=

3(1-3n)

1-3

-n×3n+1
∴Hn=

(2n-1)×3n+1+3

4

，…（10分）
∴數列{c_n}的前n項和Tn=

(2n-1)×3n+1+3

4

+

n(n+1)

2

…（12分）

點評：本題首先考查等差數列、等比數列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，對數學思維的要求比較高，要求學生理解“存在”、“恒成立”，以及運用一般與特殊的關系進行否定，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，注意錯位相減法的靈活運用．