Question

如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E是正方形BCC₁B₁的中心，點F．G分別是棱C₁D₁，AA₁的中點．設點E₁，G₁分別是點E，G在平面DCC₁D₁內的正投影．
（1）證明：直線FG₁⊥平面FEE₁；
（2）求異面直線E₁G₁與EA所成角的正弦值．
（3）求四面體FGAE的體積．

Answer 1

解：（1）證明：以D為坐標原點，DA．DC．DD₁所在直線
分別作x軸，Y軸，Z軸，得E₁（0，2，1），G₁（0，0，1），又G（2，0，1），F（0，1，2），E（1，2，1），則=（0，-1，-1），=（1，1，-1），=（0，1，-1），┉┉（2分）
∴•=0+（-1）+1=0，
•=0+（-1）+1=0，即FG₁⊥FE，FG₁⊥FE₁，
又FE₁∩FE=F，∴直線FG₁⊥平面FEE₁（4分）
（2）=（0，-2，0），=（1，-2，-1），┉┉（5分）
則==，┉┉（7分）
設異面直線E₁G₁與EA所成角為θ，則sinθ==．┉┉（8分）
（3）∵A．G．A₁，F共面，且G是AA₁的中點，
∴V_E-AGF=V_E-A1GF．┉┉（10分）
取B₁C₁．的中點為M，所以EM∥A₁G，∴EM∥平面A₁GF，
∴V_E-AGF=V_E-A1GF=V_M-A1GF=V_G-A1MF==┉┉（14分）
分析：（1）以D為坐標原點，DA．DC．DD₁所在直線，分別作x軸，Y軸，Z軸，分別出各頂點的坐標，及直線FG₁的方向向量和平面FEE₁的法向量，然后判斷兩個向量是否共線，即可得到直線FG₁⊥平面FEE₁是否成立；
（2）分別求出異面直線E₁G₁與EA的方向向量，然后代入向量夾角公式，即可得到異面直線E₁G₁與EA所成角的正弦值．
（3）根據棱錐的幾何特征及已知條件，我們可以得到V_E-AGF=V_E-A1GF=V_M-A1GF=V_M-A1GF，求出四面體的底面積和高，代入棱錐體積公式，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，棱錐的體積，異面直線豚其所成的角，建立空間坐標系，將線面關系的判定，及線面夾角問題轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．